Las matemáticas del Sri Yantra

El Sri Yantra parece un sencillo patrón de triángulos superpuestos. Nueve, entrelazados dentro de un círculo. Entonces intentas dibujar uno y ocurre algo extraño: las líneas no se encuentran donde deberían. Puedes pasar horas ajustando, y dos o tres puntos de intersección seguirán quedando ligeramente desplazados. No es un fallo de técnica. Cuando los matemáticos del siglo XX formalizaron el problema, concluyeron que se trataba de una propiedad fundamental de la propia geometría. En 2021, un matemático francés demostró que estaban equivocados.

Nueve triángulos, 43 espacios y 33 intersecciones que deben ser exactas

El Sri Yantra está formado por cuatro triángulos que apuntan hacia arriba (que representan a Shiva en la tradición hindú) y cinco triángulos que apuntan hacia abajo (Shakti). Estos nueve triángulos se superponen para crear exactamente 43 triángulos secundarios, dispuestos en anillos concéntricos en torno a un punto central llamado bindu.

Alrededor de los triángulos: dos anillos de pétalos de loto (8 y 16), encerrados por un marco cuadrado llamado bhupura, con puertas en los cuatro lados.

La geometría que importa está dentro. Los nueve triángulos generan 33 puntos en los que exactamente tres líneas deben pasar por un único punto, más 24 puntos en los que se cruzan dos líneas. Esas 33 “intersecciones triples” son el origen de todos los problemas. En la mayoría de diagramas geométricos (la Flor de la Vida, una Estrella de David), la simetría hace que los puntos de intersección encajen de forma natural. Los nueve triángulos del Sri Yantra son todos de tamaños distintos, están situados a alturas diferentes y cada uno comparte vértices con los demás. Como lo expresa sriyantraresearch.com: “Cada triángulo está conectado con los demás mediante puntos comunes, y por eso resulta tan difícil dibujarlo correctamente. Cambiar el tamaño o la posición de un triángulo a menudo obliga a cambiar la posición de muchos otros”.

Esta interconexión es lo que hace que el Sri Yantra sea fundamentalmente distinto de la geometría sagrada más sencilla.

Por qué un Sri Yantra perfecto parecía matemáticamente imposible

El problema de fondo es un desajuste entre libertad y restricción.

Cuando te propones dibujar un Sri Yantra, empiezas con un círculo. Dentro de él tienes que situar nueve triángulos. Pero estos triángulos no son independientes. Salvo los dos mayores (cuyos tres vértices tocan el círculo exterior), el ápice de cada triángulo debe caer sobre la base de otro triángulo. Ese requisito de entrelazamiento implica que solo puedes elegir libremente la posición de un pequeño número de líneas horizontales. Todo lo demás queda determinado por las intersecciones que generan esas elecciones.

¿Cuántas elecciones libres tienes en realidad? Gérard Huet, informático del INRIA, formalizó el Sri Yantra como un problema de geometría euclidiana y encontró cuatro parámetros independientes (Huet, 2002). Si cuentas el radio del círculo exterior como una elección, en lugar de fijarlo en 1, obtienes cinco. En cualquier caso, el número de restricciones (33 intersecciones triples que deben ser exactas, además de los requisitos de concentricidad y simetría) supera con creces el número de parámetros libres.

En matemáticas, esto se llama un sistema sobredeterminado: más ecuaciones que incógnitas. C.S. Rao tradujo el Sri Yantra a un sistema de 20 ecuaciones de restricción y utilizó Mathematica para buscar soluciones (Rao, 1998). Los errores podían reducirse muchísimo, pero nunca eran cero. Con una secuencia de dibujo óptima, los errores persisten en al menos dos de las 33 intersecciones triples.

Por eso existen tantas versiones distintas del Sri Yantra. Cada una representa un conjunto diferente de compromisos sobre qué intersecciones se hacen perfectas y cuáles se aproximan. Kulaichev (1984) examinó ejemplares históricos y los clasificó en tres tipos según cuántas ecuaciones de restricción cumplían. Los ejemplares de Tipo III (alrededor del 10% del total, normalmente los más antiguos, grabados en metal o piedra) satisfacen el sistema completo de cuatro ecuaciones; sus soluciones son discretas y rígidas. Los Tipos I y II, que componen el 90% de los ejemplares conocidos, solo satisfacen sistemas parciales, lo que permite una deformación continua. Kulaichev concluyó que el Tipo III probablemente representa el prototipo original, y que la degradación hacia los Tipos II y I refleja siglos de copias imprecisas.

Entonces, en 2021, Alessandro Chiodo, de la Sorbona, publicó en Comptes Rendus Mathématique un artículo que dio la vuelta a esta interpretación. Demostró que el problema de construcción del Sri Yantra equivale a una variante específica del Problema de Apolonio: dados un círculo, una recta y un punto, hallar un círculo tangente al primero, tangente a la segunda y que pase por el tercero.

Apolonio de Perga planteó este problema en torno al año 200 a. C. Chiodo demostró que, usando esta técnica griega antigua con regla y compás, se puede construir un Sri Yantra con concurrencia perfecta en cada intersección triple (Chiodo, 2021). Sin aproximación iterativa. Sin errores residuales. La primera construcción matemáticamente perfecta del Sri Yantra que se ha publicado.

La respuesta de sriyantraresearch.com, el sitio de análisis independiente más exhaustivo: “Es un logro mayor. Hasta donde yo sé, esto no se había hecho nunca”.

La imposibilidad era un artefacto del enfoque, no una propiedad de la geometría. El método de las ecuaciones simultáneas trata el problema como álgebra; el método de Apolonio lo trata como geometría pura. La geometría siempre fue resoluble.

La proporción áurea: ¿incorporada por diseño o emergente?

Si has leído algo sobre el Sri Yantra, te habrás topado con esta afirmación: el Sri Yantra codifica la proporción áurea. La prueba que se cita habitualmente es el ángulo basal de los triángulos mayores, de aproximadamente 51 grados, cercano a la pendiente de la Gran Pirámide de Guiza, de 51,84 grados (51 grados, 50 minutos, 35 segundos). Con ese ángulo, la razón entre el lado inclinado de un triángulo y la mitad de su base se aproxima a phi, 1,618.

El análisis de Joseph en la UCSC confirma la conexión: “El mayor triángulo isósceles del diseño del sriyantra es uno de los triángulos de las caras de la Gran Pirámide en miniatura”.

Pero la afirmación merece más escrutinio del que suele recibir.

La taxonomía de los triángulos áureos distingue varios tipos. El triángulo áureo “Rey” (ángulos basales de 72 grados, lados en proporción phi a 1) y el triángulo áureo “Reina” (ángulos basales de 36 grados) tienen ambos una propiedad definitoria: pueden subdividirse en copias menores de sí mismos, generando la espiral autosemejante que ha hecho famosa a la proporción áurea. El triángulo de aproximadamente 51 grados que aparece en el Sri Yantra es lo que los investigadores clasifican como un “primo”. Tiene phi en sus proporciones, pero carece de la propiedad de subdivisión autosemejante. Esta es la diferencia entre un triángulo construido a partir de la proporción áurea y otro que simplemente la contiene.

Entonces: ¿la proporción áurea es un dato de diseño o una propiedad emergente?

El método de construcción a partir de la proporción áurea de la UCSC parte de phi y deriva de él las posiciones de los triángulos, produciendo un Sri Yantra válido. Pero otros métodos de construcción (las ecuaciones simultáneas de Rao, el enfoque de Apolonio de Chiodo) parten de principios distintos y llegan a ángulos similares. El ángulo de unos 51 grados puede ser lo que naturalmente surge al optimizar el sistema de restricciones, y no algo codificado deliberadamente.

La geometría es sensible a este ángulo. Incluso un desplazamiento de uno o dos grados respecto a la marca de unos 51 grados hace que los errores de construcción crezcan rápidamente, lo que sugiere que el ángulo es un óptimo estructural. Pero queda abierta la pregunta de si los geómetras antiguos lo eligieron porque reconocieron en él phi, o porque minimizaba el error de construcción (y ambas cosas resultan coincidir).

La proporción áurea está presente en las proporciones del Sri Yantra, pero llamarlo “diagrama de la proporción áurea” exagera el caso. La estructura matemática que hace único al Sri Yantra es su sistema de restricciones, no sus proporciones angulares.

Las tres claves de una configuración óptima

No todos los Sri Yantras son iguales. Más allá de lograr que las líneas se encuentren, tres criterios definen una configuración óptima:

Concurrencia. Las 33 intersecciones triples deben ser puntos verdaderos, con las tres líneas confluyendo con precisión, en lugar de formar pequeños triángulos en los que las líneas casi se encuentran sin llegar a hacerlo. Es el criterio más difícil de satisfacer en todos los puntos a la vez, y el más visible cuando falla.

Concentricidad. El centro del triángulo más interno debe coincidir con el centro del círculo exterior. En las configuraciones subóptimas, esos dos puntos se separan, produciendo una figura desequilibrada.

Triángulo interior equilátero. El más interno de los 43 triángulos secundarios debe tener ángulos de 60 grados, formando un triángulo equilátero.

Cuando se cumplen los tres criterios, el bindu (el punto central del foco de meditación), el centro del círculo exterior y el centro de masa geométrico se alinean en un mismo punto. La figura queda, en sentido matemático, centrada.

El Sri Yantra del Sringeri Sharada Peetham, uno de los ejemplares conocidos más antiguos (atribuido a Adi Shankaracharya, siglo VIII d. C., tallado en una roca en el río Tunga), tiene un ángulo en el triángulo más interno muy próximo a 60 grados. La forma de sus pétalos de loto y de su marco exterior se corresponde con patrones que sriyantraresearch.com identifica como característicos de las configuraciones tempranas. Tanto si quien lo diseñó originalmente entendía estos criterios de forma explícita como si llegó a esta precisión por intuición geométrica y oficio cuidadoso, el resultado los satisface.

Cómo construir uno realmente (y qué sale mal)

Si te sientas con un compás y una regla a dibujar un Sri Yantra, esto es a lo que te enfrentas.

Trazas un círculo. Eliges la posición de cinco líneas horizontales (las bases de cinco de los nueve triángulos). Esas cinco elecciones son tus grados de libertad. Todo lo demás se deriva de las intersecciones: el lugar donde se cruzan las líneas determina dónde irán los vértices del siguiente triángulo. Hay triángulos que deben dibujarse primero porque generan los puntos de referencia para los siguientes.

La última línea es el problema. En los métodos tradicionales de construcción, se sitúa por ensayo y error, ajustándose hasta que las intersecciones triples finales parecen correctas. En el enfoque computacional de Rao, se resuelve de forma iterativa, minimizando el error residual. En el método de Chiodo, se determina con exactitud al resolver el problema de Apolonio del círculo, la recta y el punto.

Una propiedad que sorprende a todo el que lo intenta: el Sri Yantra tiene simetría bilateral de izquierda a derecha (el eje vertical es una línea de espejo), pero es asimétrico de arriba a abajo. No hay dos triángulos iguales. Los cuatro triángulos hacia arriba son todos de tamaños distintos, igual que los cinco hacia abajo. Esta asimetría es estructural: cuatro triángulos y cinco triángulos de tamaños diferentes, compartiendo vértices dentro del mismo círculo, dan lugar a una solución intrínsecamente no simétrica a lo largo del eje vertical. Muchos tutoriales y Sri Yantras supuestamente precisos se equivocan en esto y dibujan los dos triángulos mayores como si fueran idénticos. No lo son.

La forma plana (plana, con líneas rectas) es la más común. La forma Meru (piramidal, con contornos de triángulos superpuestos elevados en escalones, llamada así por el mitológico monte Meru) requiere intersecciones tridimensionales coherentes. La forma Kurma (esférica, dibujada sobre una cúpula con líneas curvas que representan triángulos esféricos, llamada así por la encarnación tortuga de Vishnú) es la más rara y la más exigente desde el punto de vista matemático, porque las intersecciones de líneas rectas en un plano se convierten en problemas de geometría esférica.

Lo que sabían los geómetras antiguos (y lo que no deberían haber sabido)

La sofisticación matemática que se necesita para construir un Sri Yantra preciso plantea un enigma histórico.

Los Sri Yantras físicos más antiguos conocidos se remontan a inscripciones budistas del siglo VII en el sur de Sumatra (referenciadas en de Casparis, 1956, citado por Chiodo). El ejemplar de Sringeri data del siglo VIII. Un himno de la tradición del Atharva Veda hace referencia a una figura semejante al Sri Yantra (llamada “Navayoni Chakra”, la rueda de los nueve triángulos), con el texto principal del Atharva Veda fechado aproximadamente entre los años 1200 y 1000 a. C., aunque las referencias específicas aparecen en apéndices posteriores.

El estudio matemático moderno del Sri Yantra empezó con Bolton y Macleod (1977), quienes propusieron una técnica de construcción basada en una cuadrícula de siete por siete y ofrecieron un primer análisis geométrico sistemático. Kulaichev (1984) profundizó más y se topó con algo inquietante. La forma esférica (Kurma) del Sri Yantra obliga a trabajar con triángulos esféricos, una rama de las matemáticas que, según se creía, los eruditos indios medievales no habían desarrollado. Sin embargo, existen ejemplares Kurma de esa época.

La conclusión de Kulaichev fue cauta: propuso “la existencia de alternativas culturales e históricas desconocidas al conocimiento matemático, por ejemplo, la tradición altamente desarrollada de la imaginación especial”. Tal vez existían formas de alcanzar la precisión geométrica que no implicaban las matemáticas formales que usaríamos hoy.

Después llegó el artículo de Chiodo de 2021, que reformuló todo el problema de construcción como una instancia del problema círculo-recta-punto de Apolonio. Apolonio trabajó en el siglo III a. C. La conexión es llamativa: una construcción geométrica india antigua, cuya base matemática desconcertó a los investigadores del siglo XX, resulta ser resoluble mediante una técnica que un geómetra griego antiguo ya había descrito en un contexto distinto.

Nada de esto demuestra que los geómetras indios antiguos conocieran la obra de Apolonio (ni viceversa). Pero sugiere que la construcción del Sri Yantra pudo ser más accesible mediante la intuición geométrica que mediante el análisis algebraico. El enfoque de las ecuaciones simultáneas que utilizó Rao en 1998, y que hizo parecer imposible la perfección, es un marco moderno impuesto al problema. El enfoque de regla y compás es más antiguo que el Sri Yantra y que el álgebra moderna, y es el que funciona.

Las matemáticas del Sri Yantra no son notables porque escondan la proporción áurea (la proporción está presente, pero como un “primo” más que como una propiedad definitoria). Son notables porque los matemáticos modernos pasaron décadas creyendo que se enfrentaban a un problema irresoluble, hasta que alguien lo miró con herramientas más antiguas.

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Fuentes

• Bolton, Nicholas J. y Macleod, D. Nicol G. (1977). “The geometry of the Śrīyantra.” Religion, 7(1), 66-85. DOI: 10.1016/0048-721X(77)90008-2.
• Chiodo, Alessandro. (2021). “On the construction of the Śrī Yantra.” Comptes Rendus. Mathématique, 359(4), 377-397. DOI: 10.5802/crmath.163.
• Huet, Gérard. (2002). “Śrī Yantra Geometry.” Theoretical Computer Science, 281(1-2), 609-628. DOI: 10.1016/S0304-3975(02)00028-2.
• Kulaichev, Alexey Pavlovich. (1984). “Śrīyantra and its Mathematical Properties.” Indian Journal of History of Science, 19(3), 279-292. MR: 784700.
• Rao, C.S. (1998). “Śrīyantra: A study of spherical and plane forms.” Indian Journal of History of Science, 33(3), 203-227. MR: 1651351.